삼각형의 5심 – 수심: 증명, 그리는 법, 응용, 구점원, 오일러 직선

삼각형의 5심 – 수심: 증명, 그리는 법, 응용, 구점원, 오일러 직선

삼각형의 5심 중 하나인 수심에 대해 자세히 알아볼까요? 수심은 삼각형의 세 꼭짓점에서 그은 세 수선의 교점입니다.

수심을 찾는 방법은 생각보다 간단합니다. 삼각형의 각 꼭짓점에서 대변에 수선을 그으면, 이 세 수선이 만나는 점이 바로 수심이 됩니다.

수심의 가장 중요한 성질 중 하나는 수심이 외심과 일직선상에 있다는 것입니다. 외심은 삼각형의 세 변의 수직이등분선의 교점으로, 삼각형의 외접원의 중심이기도 합니다.

이제 수심의 증명에 대해 좀 더 자세히 살펴보겠습니다.

수심은 삼각형의 각 변을 평행이동하여 2배로 확대했을 때 생기는 삼각형의 외심과 일치합니다.

증명

1. 삼각형 ABC를 생각해 보세요.
2. 삼각형 ABC의 변 BC를 평행이동하여 2배로 확대하면 변 B’C’가 됩니다. 마찬가지로 변 AB와 AC를 각각 평행이동하여 2배로 확대하면 변 A’B’와 A’C’가 됩니다.
3. 이렇게 만들어진 삼각형 A’B’C’는 원래 삼각형 ABC의 2배 크기입니다.
4. 이제 삼각형 A’B’C’의 외심을 O라고 해 보겠습니다.
5. 삼각형 A’B’C’의 변 B’C’, A’B’, A’C’는 각각 삼각형 ABC의 변 BC, AB, AC를 평행이동한 것이므로, O에서 변 B’C’, A’B’, A’C’에 그은 수선은 각각 변 BC, AB, AC에 수직입니다.
6. 따라서 O는 삼각형 ABC의 세 변에 그은 수선의 교점, 즉 수심이 됩니다.

결론적으로, 삼각형의 각 변을 평행이동하여 2배로 확대했을 때 생기는 삼각형의 외심은 원래 삼각형의 수심과 일치합니다.

이를 통해 수심과 외심의 관계를 명확하게 이해할 수 있습니다.

수심은 외심과 함께 삼각형의 중요한 성질을 나타내는 점 중 하나이며, 수심과 관련된 다양한 정리와 응용 문제들이 존재합니다.

다음에는 수심과 관련된 다른 개념들, 예를 들어 구점원과 오일러 직선에 대해 자세히 알아보겠습니다.