수학(하) > 집합 > 원소가 N개인 집합의 부분집합 개수 공식: 2의 N제곱

집합의 부분집합 개수 구하기: 원소 선택의 관점에서 이해하기

수학(하)에서 집합을 배우다 보면 원소가 n개인 집합의 부분집합의 개수를 구하는 공식을 익히게 됩니다. 이 공식은 2^n으로, n은 집합의 원소 개수를 의미합니다. 하지만 이 공식을 처음 접했을 때, 왜 2를 n번 곱해야 부분집합의 개수가 나오는지 궁금해하는 경우가 많죠.

이 궁금증을 해소하기 위해, 원소 선택이라는 관점에서 부분집합의 개수를 살펴보도록 하겠습니다.

예시로, {1, 2, 3, 4, 5}라는 집합이 있다고 가정해 봅시다. 이 집합의 부분집합은 공집합을 포함하여 총 32개가 있습니다.

공식2^n을 적용하면, 2^5 = 32가 되어 실제 부분집합의 개수와 일치합니다. 이 공식이 왜 성립하는지 원소 선택의 관점에서 설명해 보겠습니다.

집합의 각 원소는 부분집합에 포함될 수도 있고, 포함되지 않을 수도 있습니다. 예를 들어, 집합 {1, 2, 3, 4, 5}의 부분집합 {1, 3, 5}를 생각해 보면, 원소 1, 3, 5는 포함되었고, 원소 2, 4는 포함되지 않았습니다.

즉, 각 원소에 대해 두 가지 선택지 (포함 또는 미포함)가 존재합니다. 집합의 원소가 n개라면, 각 원소에 대해 2가지 선택지가 있으므로 총 2 x 2 x 2 … x 2 (n번), 즉 2^n가지의 부분집합이 가능하게 됩니다.

결론적으로, 원소가 n개인 집합의 부분집합의 개수를 구하는 공식 2^n은 각 원소에 대한 두 가지 선택 (포함 또는 미포함)을 n번 반복하는 경우의 수를 나타내는 것입니다.

이제 문제에서 제시된 4와 5가 이미 선택된 상황을 생각해 보겠습니다. 4와 5는 이미 부분집합에 포함되기로 결정되었으므로, 더 이상 선택할 필요가 없습니다. 즉, 실질적으로 선택해야 할 원소는 3개 (1, 2, 3)만 남습니다.

따라서 이 문제의 부분집합 개수는 2^3 = 8개가 됩니다.

핵심은, 집합의 원소를 선택하는 관점에서 부분집합의 개수를 이해하는 것입니다. 각 원소에 대한 두 가지 선택지를 곱해 나가면 자연스럽게 2^n 공식이 도출됩니다.

이제, 원소가 n개인 집합의 부분집합의 개수를 구하는 공식 2^n을 더욱 명확하게 이해할 수 있기를 바랍니다.