23. 삼각형 수심, 방심: 증명과 방접원 이해하기

삼각형의 수심을 이해하는 데 도움이 되는 중요한 특징이 있습니다. 바로 수심은 삼각형의 세 높이의 교점이라는 사실입니다. 높이란 삼각형의 한 꼭짓점에서 그 꼭짓점의 대변에 내린 수선을 말합니다. 수심이 높이들의 교점이라는 사실은 직관적으로 이해하기 어려울 수도 있지만, 이를 증명하는 것은 생각보다 어렵지 않습니다.

수심이 세 높이의 교점임을 증명하기 위해서는, 두 높이의 교점이 나머지 한 높이 위에 있다는 것을 보여주면 됩니다. 예를 들어, 삼각형 ABC에서 꼭짓점 A에서 BC에 내린 수선과 꼭짓점 B에서 AC에 내린 수선의 교점을 H라고 합시다. 이제 우리는 점 H가 꼭짓점 C에서 AB에 내린 수선 위에 있다는 것을 보여야 합니다.

이를 증명하기 위해, 점 H가 수선 CH 위에 있다고 가정해 봅시다. 그러면 점 H에서 AB에 내린 수선의 발을 D라고 하면, 직각삼각형 AHD와 BHD는 직각을 공유하고 빗변이 공통이므로 합동입니다. 따라서, AD = BD가 됩니다. 즉, 점 H는 AB의 중점입니다. 이는 점 H가 수선 CH 위에 있다는 가정에 모순이 됩니다. 왜냐하면 수선 CH는 삼각형 ABC의 높이이므로, 점 H는 AB의 중점이 아닌, AB 위에 있는 한 점이어야 합니다. 따라서, 점 H는 수선 CH 위에 있어야 하며, 이는 수심이 세 높이의 교점임을 의미합니다.